「华泰固收·经典精译」所罗门兄弟：理解收益率曲线（五）

  固定收益资产的价值很少与利率水平线性相关;大多数债券的价格-收益曲线是正凸或负凸的。市场参与者早就知道，正凸度可以增强债券投资组合的表现。因此，债券间的凸度差异对收益率曲线的形状和债券回报率有显著影响。这份报告描述了这些影响，并提供了实证证据来说明它们在美国国债市场的重要性。

  我们也可以从另一个角度来看待凸度偏差——凸度的价值作为债券预期回报的一部分。国债市场中广泛使用的相对价值工具，如到期收益率和滚动收益率，不涉及凸度的价值。在本报告中，我们展示了如何调整预期回报度量来包括凸度价值。

  债券的凸度调整预期回报等于其滚动收益率与凸度价值之和。图1显示，在长久期端，经凸度调整的预期回报可能与基于收益率的预期回报有显著差异。（我们在报告中进一步描述这个特性的构造。)在“凸度基础”一节中，我们定义凸度，描述债券之间凸度的差异，并讨论波动率与凸度价值之间的关系。然后，我们研究凸度对收益率曲线形状和预期回报的影响，并解释为什么我们主张在久期中性的杠铃-子弹交易的评估中使用凸度调整的预期回报。最后，我们给出凸度对已实现长期债券回报和杠铃-子弹交易表现影响的历史证据。

  虽然本报告着重于凸度对收益率曲线（以及债券回报）的影响，但我们强调凸度偏差不是收益率曲线形状的唯一决定因素。正的债券风险溢价倾向于抵消凸度的负面影响，使收益率曲线向上倾斜（至少是在短久期端）。此外，市场对未来收益率变化的预期也可以使收益率曲线发生变化。本报告是《理解收益率曲线》系列的第五部分，本系列的早期报告描述了市场的收益率预期和债券风险溢价如何影响曲线形状。

  凸度是指债券价格-收益率曲线中的曲率（非线性部分）。所有非可赎回债券均呈现不同程度的正凸度。当价格-收益率曲线形态呈下凸时，收益率下降带来的债券价格涨幅要大于同等程度收益率增长带来的价格跌幅。正如通常说的，正凸度只能改善债券组合的表现。图2显示了30年期零息债券的价格-收益率曲线，以说明这一说法在何种程度意义上是正确的：下凸曲线的线性近似总是位于曲线之下。也就是说，对于给定的收益率变化，基于久期近似的债券价格变动将总是低于债券实际价格。对于小的收益率变化，偏差很小；但是对于大的收益率变化，偏差很大。我们可以通过在线性近似中加上二次项（凸度）来更好地逼近真实的价格-收益率曲线。因此，给定收益率变化的债券百分比价格变化（100∗ΔP/P）为:

  对于非可赎回债券，凸度取决于久期和现金流的分散程度（详见附录A）。图3显示了零息债券的凸度作为（修正）久期的函数。凸度不仅随着久期的推移而增加，而且加速增加。对于零息债券，一个好的经验法则是凸度等于久期的平方（除以100）。

  随着现金流的分散程度增加，凸度也在增加。短期和长期零息债券的杠铃组合的现金流比久期匹配的中期零息债券的子弹组合更加分散。在具有相同久期的所有债券中，零息债券具有最小的凸度，因为它没有分散的现金流。如附录A所述，付息债券或债券组合的凸度可以被视为久期匹配的零息债券凸度与由现金流分散引起的附加凸度的总和。

  凸度是有价值的，因为我们早些时候提到的价格-收益率曲线呈现下凸的基本特征：收益率下降提高的债券价格大于收益率增加减少的债券价格。即使投资者对收益率方向一无所知，由于价格-收益率曲线的非线性，他们也可以预期回报将大于损失。图2显示，如果收益率变动小，则凸度对债券价格几乎没有影响；但如果收益率变动较大，则其影响很大。凸度越大并且收益率变动的绝对量越大，实现的凸度价值越大。我们不知道预期实现的收益率变动将会有多大，但是我们可以通过波动率预测来衡量其预期的幅度。如果我们预期近期收益率波动率较大，那么我们预计凸度价值将会很高。

  凸度价值是一个模糊的概念，投资者可能很难看到波动率会如何提高预期回报。我们尝试通过以下示例使该概念更加具体和直观。图4比较了在一个确定性世界和在一个不确定性世界种30年期零息债券的预期值。在一个确定的世界中，投资者知道债券的收益率将维持在8％的水平。因此，没有波动性并且凸度没有价值。在第二种情况下，我们以最简单的方式介绍不确定性：债券的收益率跳到10％或6％的概率相等。也就是说，投资者不知道收益率在哪个方向上移动（平均而言，他们预计没有变化），但是他们知道收益率将上升或下降200个基点。请注意，两种可能的最终债券价格（y = 10%, P = 5.40并且y=617.00）高于线性近似隐含的价格。预期债券价格是两种可能的最终价格的平均值：E(P)=0.5∗$5.40+0.5∗$17.00=$11.20。这个预期价格高于收益率没有变化的价格（y = 8%, P = $9.50）。1.70的价格差异反映了凸度价值的预期；波动为200个基点时，债券预期价格比波动为0个基点时高1.70。因此，较高的波动性增强了正凸度头寸的（预期）表现。

  政府债券市场利差的影响更为微妙，因为所有债券均呈现正凸度。当波动率高时，收益率曲线往往更加弯曲，并且更有可能在长端发生倒挂，扩大久期匹配的杠铃组合和子弹组合之间以及久期匹配的付息债券和零息债券之间的利差。凸度、收益率曲线和预期回报

  我们已经证明，正的凸度对固定收益资产来说非常有价值，不同期限债券的凸度呈现出巨大差异。现在我们将说明这些凸度差异将会抵消不同期限债券之间的的收益率差异。投资者倾向于要求较低的收益率来获得更多的凸度，因为他们希望通过凸度来提高回报。特别地，图3显示长期债券表现出非常高的凸度。由于较高的凸度，这些债券可以提供比短期债券更低的收益率，并且仍然提供相同的近期预期回报。

  我们假定其他因素对曲线形状的影响是中性的，以分离凸度对收益率曲线形状的影响（或凸度偏差）。具体来说，我们假设所有债券具有相同的预期回报（8％），市场预期短期收益率将保持在当前（8％）水平，我们研究即期收益率曲线年期远期收益率曲线的行为。没有债券风险溢价，没有预期收益率变化，人们可能预期这些曲线％上保持水平形状。相反，

  图5中的数字来自哪里？现实世界中即期收益率是最容易观察到的，与此不同，在这个例子中我们假定已知预期回报，并以我们的方式推算远期收益率，然后进一步得到即期收益率。鉴于我们的假设，市场对收益率曲线没有方向性的看法，每个零息债券都能从滚动收益率和凸度中获得近期预期回报：

  基于我们的假设，所有债券的凸度调整预期回报为8％，并使用一些波动率假设（决定凸度价值），我们可以从方程（2）中算出各期限零息债券的滚动收益率。我们的100个基点的波动率假设大概意味着我们预计所有收益率都会从今年的当前水平变化100个基点（上涨或者下降）。例如，如果长期零息债券的凸度为2.25（见注3），凸度价值约为0.5∗2.25∗1=1.125%。零息债券的滚动收益率为6.875％，但其年化近期预期回报为8％。对于具有较小凸度的付息债券，凸度价值要小得多。构建图5的最后一步是从1年期远期收益率曲线（即滚动收益率曲线）计算即期收益率曲线。

  ty∗(Vol〖(∆y))〗^2。图5显示，凸度偏差本身倾向于使收益率曲线倒挂，特别是在长久期端。然而，实际上收益率曲线很少像这个假设的例子一样出现倒挂，这个例子中我们假设所有期限上的债券都具有相同的近期预期回报并且有相同的基点收益率波动率。我们现在逐个放松这两个假设。首先，凸度不是对曲线形状的唯

  一影响。典型的收益率曲线形状向上倾斜，可能反映了正的债券风险溢价（相对于短期债券，投资者对长期债券要求更高的预期回报）。在曲线的前端，凸度偏差很小，不能抵消正的债券风险溢价的影响。在曲线长端，尽管有正的风险溢价，但是凸度偏差可能会很大以至于收益率曲线显示，在存在正的风险溢价的情况下，凸度偏差倾向于使收益率曲线呈现弯曲而不是倒挂。在这个图中，我们使用不同期限的历史平均回报来代表预期回报。如前所述，凸度价值随着收益率的波动率而增加。到目前为止，我们假设收益率波动率在整个曲线显示，从历史上看，波动率的期限结构往往倒挂，长期收益率的波动幅度低于短期收益率。因此，凸度价值不会像凸度本身一样依久期的平方增大。然而，即使考虑到波动率期限结构，凸度价值确实随着久期的增加而增加；波动率的倒挂只会抑制增加程度（见图8）。

  图7中，波动率期限结构的水平和形状因样本周期而非常不同。二十世纪八十年代，特别是初期，收益率的波动率非常高，波动率期限结构倒挂。二十世纪九十年代，波动率一直较低，波动率期限结构是平坦或弯曲的。很难选择合适的样本周期计算收益率的波动率，并且图8表明这种选择对凸度价值的估计有重要影响。我们认为合适的选择是在

  1995年和1990-1995年期间，因为我们不期望再次看到1979-1982年的波动率水平，至少没有明确的警告。这一时期恰好与不同的货币政策制度相联系，美联储盯住货币供应量，容忍收益率波动幅度高于1982年10月以后的水平。其实，我们可以使用当前期权价格的隐含波动率（根据cap曲线、各种期货合约的期权、特定债券的OTC期权）来计算（预期）凸度价值，而不是特定样本期的历史波动率。我们没有这样做的主要原因是并不是所有期限都存在这种隐含波动率。此外，从实证证据可以看出，隐含波动率预测未来收益率波动率未必比历史波动率更好。

  在附录B中，我们描述了本报告中使用的各种波动率估计方法，并讨论了它们之间的关系。特别是，我们强调期权价格通常针对相对收益率波动率（Vol(Δy/y)），而不是我们使用的基点波动率（Vol(Δy)）。例如，13％的隐含波动率必须乘以收益率水平，如7％，以获得基点波动率（91基点 = 0.91% = 13% * 7%）。

  图8显示，正凸度可以是非常有价值的，特别是在高波动率环境中。然而，基于收益率的债券预期回报度量不认为凸度有任何价值。例如，滚动收益率是给定一种情况（不变收益率曲线）的债券持有期回报，基本上假定没有收益率不确定性。因为波动率只能是正数，所以滚动收益率是对具有正凸度债券的预期回报的下偏度量。幸运的是，可以对滚动收益率添加收益率不确定性（凸度价值的预期）的影响。方程式（2）表明，如果基本情况是期望收益率曲线不变，则债券的近期预期回报只是滚动收益率与凸度价值之和。这种近似关系适用于付息债券以及零息债券。

  5年9月1日的六个国债和四个长期零息债券的三种预期回报度量（到期收益率、滚动收益率、凸度调整预期回报）和凸度价值（从 Salomon Brothers 国债模型曲线估计，代表不活跃的债券）。此外，我们描述了两个杠铃组合，并与久期匹配的子弹组合进行比较。图1显示了三种预期回报曲线作为久期的函数。

  1995年期间的特定期限历史波动率来代替预期波动率，样本周期为1年期。这些选择可以说明本报告中提出的想法；我们强调，可以使用其他波动率估计或其他样本周期。特别是，图7显示，如果我们将样本期延长到1980年代，波动率估计将会更高。（债券的收益率波动率与图7中债券的收益率波动率类似）。对于给定的收益率曲线，这些较高的波动率估计可以将凸度价值的估计值增加一倍以上，从而增加凸度调整预期回报。样本周期使用一年使得标记更容易，因为凸度价值以年化收益率表示，正如收益率和波动率。如果我们使用三个月作为样本周期，所有三个预期回报和凸度价值将大约是图9中数字的四分之一。例如，如果30年期债券的凸度为2.57，年化波动率为82基点，季度波动率约为41个基点（82/√4），凸度的季度值为0.5∗2.57∗0.412=0.22%（≈0.88%/4）或22个基点。图1和图9显示，由于短期债券几乎没有凸度，凸度调整对短久期端的影响不大。即使是期限最长的付息债券，年化影响也只是88个基点。相比之下，对于期限最长的零息债券，凸度价值的绝对数（253个基点）和关于预期回报的比例（30% = 2.53 / 8.46）都非常大。更一般地，凸度价值可以部分地解释滚动收益率曲线典型的上凸形状，即使凸度调整的预期回报曲线年后倒挂。最长期限的零息债券似乎具有相当低的预期回报，也许反映了其流动性优势和融资优势。

  1980年代中期，投资者熟悉了凸度的概念（参见文献指南），尽管很少有人将其纳入预期回报的度量。然而，凸度调整后的预期回报能比滚动收益率更好的度量预期回报，调整也相当简单。正如现代投资组合理论，一切归结为均值-方差分析，我们应该通过收益率波动率来调整债券久期。那么，图1将绘制债券预期回报关于回报波动率的关系。当然，凸度调整的预期回报并不完美。例如，如果投资者可以一致地预测收益率曲线的形变，他们可以构建更好的预期回报度量。此外，我们的分析帮助投资者解释不同的收益率曲线形状，并且更直接地，提供了评估久期匹配的杠铃组合和子弹组合之间以及久期匹配的付息债券组合和零息债券组合之间的相对价值交易的工具。这是下一节的主题。

  杠铃-子弹交易涉及卖出中期债券（子弹部分）以及买入短期债券和长期债券投资组合（杠铃部分）。通常，交易通过加权使其保持现金中性和久期中性；即中期债券售出一个单位，相应依久期加权的长期债券被买入，剩余的回报被纳入“现金”（在投资期限结束时到期的短期债券） 。为简单起见，我们只会在本报告中研究上述这样的杠铃组合。在附录A中，我们解释说，相对于久期匹配的子弹组合，杠铃组合的长期债券具有凸度优势，因为杠铃组合的久期关于回报水平变化较大。图3提供了杠铃组合和子弹组合之间凸度差异的另一个说明。如果我们在零息债券的凸度-久期曲线上的任意两个点之间画一条直线，则该线上的每个点对应于一个杠铃组合（长期零息债券和短期零息债券具有的不同权重）。这种杠铃组合的凸度是付息债券凸度的市值加权平均。因为连接直线总是位于零息债券的凸度-久期曲线之上，所以杠铃组合的凸度总是高于久期匹配的子弹组合。此外，当我们连接期限最短和最长的零息债券时，任何久期上可以获得的的最大凸度就会出现。

  如果投资者想要评估杠铃-子弹交易的相对便宜性，他需要比较两个数字，失去的滚动收益率和获得的凸度。凸度调整的预期回报的优点在于它提供了一个单一的数字来衡量这些交易的吸引力。

  例如，图9中的1-30年期杠铃组合相对于10年期子弹组合失去了71个基点（= 6.23％ - 6.94％）的滚动收益率，但是这要如何与获得的凸度（1.38对0.67）比较？最后一列中的数字表明，依据凸度调整后的预期回报和给定的波动率预测值，杠铃组合仍然失去了51个基点（= 6.70％ - 7.21％）。顺便说一句，图9中的较短的杠铃组合甚至相对于久期匹配的五年期子弹组合获得了滚动回报；这种特殊情况反映了图1中滚动收益率曲线中的下凸形状。

  ：（1）曲线变平使交易获得利润，曲线变陡（两个较长期限的债券之间）使交易损失；（2）该交易对小的曲线平行偏移保持中性，但杠铃组合由于其凸度优势可以从任一方向的大幅度变化中获利；（3）失去的初始滚动收益率越大，收益率曲线越弯曲（上凸）。这种形状可能是由于市场对曲线变平或高波动率的预期所致，其中任何一种原因都将为未来的交易带来资本回报。

  73％）的杠铃组合，投资期一年。因此，在投资期结束时，组合构成将是一个9年期债券，一个29年期债券和现金。久期中性和现金中性的限制要求长期债券和短期债券的权重分别为0.53和0.47。给定杠铃组合的久期中性权重，失去的滚动收益率为71个基点（= 0.53 * 6.67% + 0.47 * 5.73% - 6.94%）。我们通过提出两个问题来区分交易中的做平因素和凸度因素。▪如果曲线年期之间（或更准确地说是期末的9年期和29年期之间）的利差要收窄多少来抵消失去的滚动收益率？

  个基点的平行偏移。历史经验表明，前一事件比后者更可能发生：在过去15年中，有30％的时间内10年期与30年期的利差收窄至少11个基点，而10年期收益率移动

  个基点以上只占17％的时间。因此，给定的滚动收益率劣势更可能通过曲线变平抵消，而不是通过杠铃组合的凸度优势。然而，曲线变形和凸度的相对作用在不同的杠铃-子弹交易中有所不同。在短久期债（大多数付息债券）之间，形变效应显然更为重要，而在长久期债（长期零息债券）之间，凸度可能更为重要。因此，杠铃和子弹债券之间的滚动收益率利差或久期低于10年部分的收益率曲线曲率的时变性，更多取决于市场对未来曲线变平/变陡的预期，而不是其变化的波动率预期。前一个例子凸度方面的分析说明了杠铃-子弹交易与做多跨式期权交易（购买相同执行价格和执行日期的看涨和看跌期权）之间的相似性。图10显示的几乎呈U形的图案相似于对期权的分析。滚动收益率劣势对应于看涨和看跌期权头寸的初始成本，其中任何一个方向上的大变动都将被抵消这一成本。假设收益率平行变动，如果收益率水平上升或下降至少

  个基点，那么交易只会是有利可图的。如果收益率曲线根本不发生移动，则发生最大损失（71个基点）。当然，图10忽略了这个交易中的曲线形变风险。衡量杠铃-子弹交易的便宜性的另一种方法是计算其隐含的收益率波动率，并将其与期权市场的隐含波动率进行比较。如果我们假设久期匹配的杠铃组合和子弹组合获得相同的预期回报，并且滚动收益率利差仅反映了凸度价值，没有曲线变平的预期，则可以根据观察到的滚动收益率利差和凸度差异计算出杠铃-子弹交易的隐含波动率。在这种情况下，收益率曲线的高曲率（上凸）和子弹-杠铃组合的高滚动收益率利差表示高的隐含波动率。相比之下，如果收益率曲线是久期的下凸函数，杠铃组合会获得收益率和凸度，并且隐含波动率为负值，这通常表明市场对近期曲线变陡的强烈预期。

  凸度调整预期回报背后的直觉是，如果投资者关心预期回报而不是收益率，那么他们将合理地接受凸度更大而收益率和滚动收益率较低的债券。在这个意义上，凸度通过影响债券收益率而被定价。然而，一个更微妙的问题是凸度是否也影响不可直接观察到的预期回报。滚动收益率劣势可能完全抵消凸度优势，使得具有相同久期但不同凸度的两个债券头寸具有相同的近期预期回报。由于保险型回报模式，凸度是有吸引力的特点，即市场（总体投资者）因为债券较大的凸度而接受期较低的预期回报。最后，追逐眼下回报的投资者有可能在市场上占主导地位，导致了高回报、小凸度债券的价格溢价（较低的预期回报）。这个问题还没有定论。下文中来自历史债券回报的证据表明，凸度较大的头寸从长期来看回报略低于凸度较小的头寸。

  4年12月期间的长期债券头寸以及杠铃-子弹组合的历史表现，重点是凸度对实现回报的影响。第一个策略总是投资于当期（活跃的）30年期的国债；这种策略通过持有长期债券而做多凸度。第二个策略涉及到在5年期与30年期债券之间反复做月度做平交易。具体来说，我们每月做空五年期国债，并做多30年期债券和一个月期国库券。久期和投资期限匹配，也就是说，30年期债券的权重使得杠铃组合和子弹组合在月底有相同的预期久期。简单计算表明，权重是五年期债券久期与30年期债券久期的比例。虽然交易是现金中性和久期中性的，但它是做多凸度的，因为杠铃组合比子弹组合的凸度更大。我们首先在图11中显示各种债券头寸的一些汇总统计数据，但重点在最后两列。子弹组合比久期匹配的杠铃组合多大约100个基点的平均收益率和平均收益率。因此，杠铃组合获得的凸度（0.69对0.19）和收益率曲线形变的影响并不能抵消其损失的初始收益率。然而，杠铃组合的回报波动率明显低于子弹组合，这反映了30年期债券的收益率波动率比五年期债券低。

  我们可以将债券的持有期回报分解为四个部分：收益率影响、久期影响、凸度影响和误差项。

  从等式（1）回顾，久期和凸度因素可以近似债券的即时回报。随着时间的推移，债券还可以从票息或价格中获得一些收入；我们从债券的收益率中估算这笔收入。因此，我们通过公式（3）近似债券的持有期回报。实际回报与其三项近似值之间的差额是误差项；如果近似值较好，则误差项应相对较小。我们将30年期债券的月度回报分为四个组成部分，并在图12中描述了各个成分的平均行为和波动率。

  图12顶部的回报波动率数据显示，在任何一个月，久期很大程度上影响了长期债券的回报，这是每月回报波动99％的来源。但是，随着时间的推移，收益率的增加和减少往往相互抵消，对长期平均回报影响不大。在15年的样本期，长期债券的平均回报更多反映了平均收益率（91％）的影响，其次是凸度（14％），再次是久期（-5％）。误差项具有小的均值和波动率，表明等式（3）中的近似程度很好。子时段分析显示，三年内久期仍然可以产生显着的正面或负面影响，198

  9-91年显然是牛市，另外三个子时段是熊市。相比之下，收益率和凸度因素总是正的。1980年代初，当收益率波动率很大时，凸度的影响最大。在整个样本中，年化凸度影响为148个基点，而在1990年代，大约只是一半。图12描述了凸度以及另外两个影响对实现债券回报的影响。虽然过去回报的表征有时是有用的，但大多数投资者对未来的凸度影响更感兴趣。如果波动性和凸度不变，我们可以使用历史平均凸度影响来代表预期的凸度值。然而，波动性和凸度随时间而变化。图13显示了198

  4年期间的凸度、20天滚动历史波动率和30年期债券凸度（预期）的趋势。（近期历史波动率通常用作近期未来波动率的估计值。）随着收益率的下降凸度有所增加，但1987年以来股市暴跌之后以及美联储在1994年春季收紧财政之后，波动幅度也有所下降。1980年代初期，对于30年期债券来说，凸度价值几百个基点，而近期凸度的价值很少超过100个基点。这种变化意味着对凸度价值的任何估计与未来波动率的基本估计一样好。因此，当计算凸度调整后的预期回报时，投资者应使用当前收益率曲线中的信息及其对近期收益率波动率的最佳预测。附录A 非可赎回国债的凸度变化

  对于已知现金流的债券，凸度取决于债券的久期和债券现金流的分布。久期越长，凸度越高（给定现金流分布）;现金流越分散，凸度越高（给定久期）。在本小节中，我们讨论这些关系背后的数学和直觉。我们首先分析零息债券。n年期零息债券的价格为

  所有曲线都是向下倾斜，但不是线性的。然而，不管贴现项〖(1+y/100)〗^n有多大，只要y0，价格就不会变为负值。直接上，如果价格-收益率曲线最初很陡，需要大的凸度（即价格-收益率曲线大的斜率变化）来保持债券价格是正的。否则，长期债券的价格-收益率曲线的线性近似将非常快速地达到零（图14中的30年零息债券将在收益率为11％时为零，而三年期零息债券在收益率为43％时为零）。

  给定久期，凸度随着现金流的分散程度增加。短期和长期零息债券杠铃组合的现金流比久期匹配的中期零息债券子弹组合更分散。事实上，子弹组合的现金流没有分散。

  相对于短期现金流，给定的收益率上涨更会降低长期现金流的现值，而且长期现金流相对权重的下降会缩短杠铃组合的久期，从而限制了收益率进一步上涨时的损失。（回想一下，投资组合的 Macaulay久期是其组合现金流的现值加权平均久期。）在所有久期相同的债券中，由于没有现金流分散，零息债券的凸度最小。因此，其 Macaulay 久期并不随收益率水平而变化。事实上，付息债券或投资组合的凸度可以看做是一系列久期匹配的零息债券的凸度之和加上由于现金流分散造成的附加凸度。Macaulay久期为T的债券组合的凸度是：

  其中右侧的第一项等于久期匹配的零息债券的凸度（参见等式（8）），并且“Dispersion”是投资组合现金流的期限关于其现值加权平均（Macaulay 久期）的标准差。

  图15显示了子弹组合（30年零）和久期匹配的杠杆组合（10年期和50年期零息债券）之间的凸度差异，我们使用这样一个极端的例子和一个假设的50年期债券使得两个价格-收益率曲线形状的差异在视觉上可辨别。如果收益率水平为8％，并且收益率只能平行变动，那么最坏的情况下杠铃组合的表现会和子弹组合一致（如果收益率保持在8％），而最好的情况是杠铃组合大幅跑赢子弹组合（如果收益率大幅度上升或下降）。显然，凸度大是一个有价值的特征。其实，因为它是有价值的，图15的情况是不切实际的。如果曲线水平并且平行偏移的假设是真实的，投资者可以通过做多杠铃组合做空子弹组合获得无风险的套利利润。实际上，市场价格的调整使得收益率曲线通常是上凸的而不是水平的（杠铃组合比子弹组合的收益率更低），并且曲线非平行的变化（如曲线变陡峭）可以使得子弹组合跑赢杠铃组合。

  公式（1）表明，0.5∗Cx∗(Δy)^2近似于凸度对债券价格变动百分比的影响。因此，凸度价值的预期约等于0.5∗Cx∗E(Δy)^2。现在我们讨论E(Δy)^2与一些波动率度量方法之间的关系。收益率变动的方差定义为:

  只要E(Δy)≈0，波动率与收益率变化的绝对值期望（E(Δy)）大致成正比。注意，即使E(Δy)=0，E(Δy)也是正的。即使投资者认为目前的收益率曲线是对明年收益率曲线的最佳预测，该曲线在明年也有可能相对于今年水平向上或向下移动100个基点。事实上，假设E(Δy)=0将是极端的，因为这个假设将意味着零波动率（不存在不确定性）。

  下面等式（8）说明关系Cx≈Dur^2/100。方程（11）和（12）的比较表明，零息债券的凸度价值近似等于回报方差除以200。有趣的是，算术平均值和几何平均值之间的差异近似等于回报的方差除以200。看来，增大久期会增加凸度并增加（算术）预期回报，但是随之而来的波动性增加会拖累几何平均值并抵消凸度优势。

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